Fibonacci-tallene

Oppvarmingsoppgave!
Denne oppgaven løses i Geogebra.
  • Tegn et kvadrat ABCD
  • Forleng AB gjennom B ved å tegne en stråle
  • Sett av midtpunktet E på AB
  • Tegn en sirkel med sentrum i E og radius EC. Sirkelen skjærer forlengelsen av AB i punktet F
  • Reis en normal i punktet F
  • Forleng CD gjennom C ved å tegne en stråle. Strålen skjærer normalen i punktet G
Du har nå tegnet et "gyldent rektangel" AFGD. Bruk Geogebra til å regne ut forholdet mellom sidene AF og AD.



Fibonacci-tallene er en tallrekke der hvert tall er summen av de to foregående. Når vi da bestemmer oss for at både det første og det andre tallet er 1, så kan vi regne oss frem til følgende tallrekke:
1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-.......
Vi kan da sette opp følgende tabell:

 F1F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 
13 21 34 55 

Oppgave 1
Bruk Excel til å regne ut de 30 første Fibonaccitallene, altså fra F1-F30!

Oppgave 2
I den samme tabellen skal du føre opp forholdet mellom Fibonaccitallet og det foregående Finbonaccitallet!

Oppgave 3 (Denne oppgaven må du virkelig være motivert for å gå igang med)
a) 
Vi vet følgende: Fn+1=Fn+Fn-1
Forklar denne sammenhengen!

b) 
Ta utgangspunkt i det du gjorde i oppgave a, og forklar hvordan vi kan komme frem til følgende:
c)
La oss tenke oss at n er en variabel som går mot uendelig. Vi kaller forholdet mellom to etterfølgende fibonaccitall for x. Dersom n er uendelig stor, så kan vi si følgende:
Klarer du å forklare denne sammenhengen?

d)
Dersom vi ser tilbake på oppgave b, og kaller forholdet mellom etterfølgende Fibonaccitall for x, kan vi si at:

x2-x-1=0

Kan du forklare dette?

e)
Løs likningen i Geogebra, og se hva du får? (PS Vi er kun på jakt etter positive svar)

Comments